Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1} = 3\)
b) \(\sqrt {{x^2} – x – 4} = x + 2\)
c) \(2 + \sqrt {12 – 2x} = x\)
d) \(\sqrt {2{x^2} – 3x – 10} = – 5\)
Bước 1: Chuyển biểu thức có căn về một vế
Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình để làm mất dấu căn
Bước 3: Chuyển vế, rút gọn đưa về phương trình bậc hai một ẩn
Bước 4: Giải phương trình nhận được ở bước 2
Bước 5: Thử lại nghiệm và kết luận
a) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1} = 3\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 9\\ \Rightarrow {x^2} + 3x – 8 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow x = \frac{{ – 3 – \sqrt {41} }}{2}\) và \(x = \frac{{ – 3 + \sqrt {41} }}{2}\)
Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1} = 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{{ – 3 – \sqrt {41} }}{2}\) và \(x = \frac{{ – 3 + \sqrt {41} }}{2}\)
b) \(\sqrt {{x^2} – x – 4} = x + 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} – x – 4 = {\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {x^2} – x – 4 = {x^2} + 4x + 4\\ \Rightarrow 5x = – 8\\ \Rightarrow x = – \frac{8}{5}\end{array}\)
Thay \(x = – \frac{8}{5}\) và phương trình \(\sqrt {{x^2} – x – 4} = x + 2\) ta thấy thỏa mãn phương trình
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = – \frac{8}{5}\)
c) \(2 + \sqrt {12 – 2x} = x\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {12 – 2x} = x – 2\\ \Rightarrow 12 – 2x = {\left( {x – 2} \right)^2}\\ \Rightarrow 12 – 2x = {x^2} – 4x + 4\\ \Rightarrow {x^2} – 2x – 8 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow x = – 2\) và \(x = 4\)
Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(2 + \sqrt {12 – 2x} = x\) thì thấy chỉ có \(x = 4\) thỏa mãn
Vậy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.
d) Ta có biểu thức căn bậc hai luôn không âm nên \(\sqrt {2{x^2} – 3x – 10} \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \sqrt {2{x^2} – 3x – 10} = – 5\) (vô lí)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm