Mục 2 trang 16, 17 Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo: ()(sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x)               ...

HĐ Khám phá 2

Lời giải cho phương trình $\sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x$ như sau đúng hai sai?

$\sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x$               

$\Rightarrow  - {x^2} + x + 1 = {x^2}$  (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

$\Rightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 0$   (chuyển vế, rút gọn)

$\Rightarrow x = 1$ hoặc $x =  - \frac{1}{2}$ (giải phương trình bậc hai)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và $- \frac{1}{2}$

Thay nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu ta có:

+) Thay $x = 1$ vào phương trình $\sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x$ ta thấy thảo mãn phương trình

+) Thay $x =  - \frac{1}{2}$ vào $\sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x$ ta thấy không thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$, suy ra lời giải như trên là sai.

Thực hành 2

Giải phương trình $\sqrt {3{x^2} + 27x - 41}  = 2x + 3$

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để làm mất dấu căn

Bước 2: Chuyển vế, rút gọn đưa về phương trình bậc hai một ẩn

Bước 3: Giải phương trình nhận được ở bước 2

Bước 4: Thử lại và kết luận

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$3{x^2} + 27x - 41 = {\left( {2x + 3} \right)^2}$

$\Rightarrow 3{x^2} + 27x - 41 = 4{x^2} + 12x + 9$

$\Rightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0$

$\Rightarrow x = 5$ và $x = 10$

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt {3{x^2} + 27x - 41}  = 2x + 3$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 5$ và $x = 10$

Vận dụng

Cho tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1 cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a) $OC = 3OA;$

b) $OC = \frac{5}{4}OB$

Bước 1: Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý pitago để biểu diễn độ dài OC và OA qua OB

Bước 2: Lập phương trình theo giả thiết $OC = 3OA;$$OC = \frac{5}{4}OB$

Bước 3: Giải phương trình

Gọi độ dài cạnh OB là x cm $\left( {x > 0} \right)$

Theo giả thiết ta có $AB = BC = OB - 1 = x - 1$

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OAB và OBC ta có:

$OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}$

$OA = \sqrt {O{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{x^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {2x - 1}$

a) $OC = 3OA \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = 3\sqrt {2x - 1}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x^2} - 2x + 1 = 9\left( {2x - 1} \right)\\ \Rightarrow 2{x^2} - 20x + 10 = 0\end{array}$

$\Rightarrow$$x = 5 - 2\sqrt 5$ và $x = 5 + 2\sqrt 5$

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = 3\sqrt {2x - 1}$ ta thấy cả hai đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi $OB = 5 - 2\sqrt 5$ hoặc $OB = 5 + 2\sqrt 5$thì $OC = 3OA$

b) $OC = \frac{5}{4}OB \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = \frac{5}{4}x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x^2} - 2x + 1 = \frac{{25}}{{16}}{x^2}\\ \Rightarrow \frac{7}{{16}}{x^2} - 2x + 1 = 0\end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{4}{7}$ hoặc $x = 4$                

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = \frac{5}{4}x$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi $OB = \frac{4}{7}$ hoặc $OB = 4$ (cm) thì  $OC = \frac{5}{4}OB$