Advertisements (Quảng cáo)
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) \(f(x) = x + {2 \over {x + 2}}\) trên khoảng \((-2; +∞)\)
b) \(g(x) = 3{x^2} + {1 \over x}\) trên khoảng \((0; +∞)\)
Đáp án
a) Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có:
\(f(x) = x + 2{2 \over {x + 2}} – 2 \ge 2\sqrt {(x + 2){2 \over {x + 2}}} – 2 \)
\(= 2\sqrt 2 – 2\)
Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi:
Advertisements (Quảng cáo)
\(x + 2 = {2 \over {x + 2}} \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \sqrt 2 – 2 \hfill \cr
x = – \sqrt 2 – 2 \hfill \cr} \right.\)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có:
\(g(x) = 3{x^2} + {1 \over {2x}} + {1 \over {2x}} \ge 3\root 3 \of {3{x^2}.{1 \over {2x}}.{1 \over {2x}}} = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 3{x^2} = {1 \over {2x}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \)
Vậy: \(\min \,g(x) = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \)