Bài 14 trang 222 Đại số 10 Nâng cao: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau...

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) $f(x) = x + {2 \over {x + 2}}$ trên khoảng $(-2; +∞)$

b) $g(x) = 3{x^2} + {1 \over x}$ trên khoảng $(0; +∞)$

Đáp án

a) Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có:

$f(x) = x + 2{2 \over {x + 2}} - 2 \ge 2\sqrt {(x + 2){2 \over {x + 2}}}  - 2$

                                                                     $= 2\sqrt 2  - 2$ 

Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi:

$x + 2 = {2 \over {x + 2}} \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \sqrt 2 - 2 \hfill \cr x = - \sqrt 2 - 2 \hfill \cr} \right.$

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có:

$g(x) = 3{x^2} + {1 \over {2x}} + {1 \over {2x}} \ge 3\root 3 \of {3{x^2}.{1 \over {2x}}.{1 \over {2x}}}  = 3\root 3 \of {{3 \over 4}}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 3{x^2} = {1 \over {2x}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}}$

Vậy: $\min \,g(x) = 3\root 3 \of {{3 \over 4}}  \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}}$