Bài 13 trang 222 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng:

a) ${{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\,\,\,\,(a \in R)$

b) ${{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge {a \over c} + {c \over b} + {b \over a}\,\,\,(a,\,b,\,c\, \in R)$

Đáp án

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

${{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = {{({a^2} + 2) + 4} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = \sqrt {{a^2} + 2}  + {4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge$

$2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} .{4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}}  = 4$ 

b) Ta có:

 ${{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} \ge 2\sqrt {{{{a^2}} \over {{b^2}}}.{{{b^2}} \over {{c^2}}}}  = 2|{a \over c}|\, \ge {{2a} \over c}$

Tương tự ta có:

$\left\{ \matrix{ {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge 2{b \over a} \hfill \cr {{{c^2}} \over {{a^2}}} + {{{a^2}} \over {{b^2}}} \ge 2{c \over b} \hfill \cr} \right.$

Từ đó suy ra: $2({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}}) \ge 2({a \over c} + {c \over b} + {b \over a})$