Bài 24 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao, Cho tam giác ABC và điểm G. Chứng minh rằng...

Bài 24. Cho tam giác $ABC$ và điểm $G$. Chứng minh rằng

a) Nếu $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$ thì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$;

b) Nếu có điểm $O$ sao cho $\overrightarrow {OG}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)$ thì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

a) Gọi ${G_1}$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Từ đó, ta có $\overrightarrow {{G_1}A}  + \overrightarrow {{G_1}B}  + \overrightarrow {{G_1}C}  = \overrightarrow 0 .$

Theo giả thiết, $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

$\eqalign{ & \Rightarrow \,\overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 \cr & \Rightarrow \,\,3\overrightarrow {G{G_1}} + \left( {\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) = \overrightarrow {0\,} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \,\,\,\, \Rightarrow \,G \equiv {G_1} \cr}$

b) Gọi ${G_1}$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Từ đó, ta có $\overrightarrow {{G_1}A}  + \overrightarrow {{G_1}B}  + \overrightarrow {{G_1}C}  = \overrightarrow 0 .$

$\eqalign{ & \overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) \cr & = {1 \over 3}\left( {3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) = \overrightarrow {O{G_1}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,G \equiv {G_1} \cr}$