Bài 26 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C' thì...

Bài 26. Chứng minh rằng nếu $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $A’B’C’$ thì

$3\overrightarrow {G{G’}}  = \overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}}  + \overrightarrow {C{C’}} .$

Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có trọng tâm trùng nhau.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

Vì $G’$ là trọng tâm tam giác $A’B’C’$ nên 

$\overrightarrow {{G’}A’}  + \overrightarrow {{G’}B’}  + \overrightarrow {{G’}C’}  = \overrightarrow 0$

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

$\eqalign{ & \overrightarrow {A{A’}} + \overrightarrow {B{B’}} + \overrightarrow {C{C’}} = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {G{G’}} + \overrightarrow {{G’}{A’}} } \right) + \left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {G{G’}} + \overrightarrow {{G’}{B’}} } \right) + \left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G{G’}} + \overrightarrow {{G’}{C’}} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {G{G’}} + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {{G’}{A’}} + \overrightarrow {{G’}{B’}} + \overrightarrow {{G’}{C’}} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {G{G’}} . \cr}$

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có trọng tâm trùng nhau là 

$\overrightarrow {A{A’}}  + \overrightarrow {B{B’}}  + \overrightarrow {C{C’}}  = \overrightarrow 0$