Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10: Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ...

Bài 9. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$  và $BC$ trùng nhau.

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$ thì $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau. Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ ta chứng minh $I$ cũng là trung điểm của $BC$.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 

     $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$;

      $\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$

Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ nên $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}=  \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$

                           $\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}$

                           $\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}$              (1)

Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên  $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}$         (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}$                             (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ $I$ là trung điểm của $BC$.

b) $AD$ và $BC$  có chung trung điểm $I$, ta chứng minh $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$.

$I$ là trung điểm của $AD$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}$   $\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$

$I$ là trung điểm của $BC$  $\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}$    $\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$

Suy ra  $\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}=  \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}$ 

     $\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$    $\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ (đpcm)