Câu 11 trang 107 SGK Đại số 10: Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình....

Bài 11. a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2= (a-b)(a+b)$,

hãy xét dấu $f(x)= x^4– x^2+6x – 9$ và $g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}$

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: $x(x^3– x + 6) > 9$

a) $f(x) = {x^4} - {x^2} + 6x - 9 = {\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} = \left( {{x^2} + x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right)$

${{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R$ ( vì $a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0$)

Suy ra $f(x)>0$ với $x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}$ hoặc $x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2}$

$g(x) = x^2– 2x -  {4 \over {{x^2} - 2x}}$ 

= ${{{{({x^2} - 2x)}^2} - {2^2}} \over {{x^2} - 2x}} = {{({x^2} - 2x + 2)({x^2} - 2x - 2)} \over {{x^2} - 2x}}$

Bởi vì $x^2– 2x + 2 > 0 ,∀x ∈\mathbb R$ nên dấu của $g(x)$ là dấu của ${{{x^2} - 2x - 2} \over {{x^2} - 2x}}$

Lập bảng xét dấu:

b) 

$\eqalign{ & x({x^3} - x + 6) > 9 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 6x - 9 > 0 \cr & \Leftrightarrow {x^4} - {(x - 3)^2} > 0 \Leftrightarrow ({x^2} - x + 3)({x^2} + x - 3) > 0 (1) \cr}$

Vì ${{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R$ ( vì $a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0$)

Do đó (1) $\Leftrightarrow ({x^2} + x - 3) > 0$

                $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr} \right.$

Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là $\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}$