Câu 12 trang 107 SGK Đại số 10: Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình.. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng:
Bài 12. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: b2x2−(b2+c2−a2)x+c2>0,∀x
Biệt thức của tam thức vế trái:
Δ=(b2+c2−a2)2−4b2c2
=(b2+c2−a2+2bc)(b2+c2−a2−2bc)
=[(b+c)2−a2][(b−c)2−a2]
Advertisements (Quảng cáo)
=(b+a+c)(b+c−a)(b−c+a)(b−c−a)<0
(vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba b+a+c>0; b+c – a>0; b – c+a>0; b – c – a<0)
Do đó tam giác cùng dấu với b^2>0, ∀x.
Nghĩa là: {b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x