Bài 17 trang 100 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp tứ giác $S. ABCD$. Gọi $G$...

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $G$, $K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SAD$; $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CD$. Chứng minh rằng $GK\parallel MN$.

Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$. Chứng minh rằng các đường thẳng $GK$, $PQ$, $BD$, $MN$ đôi một song song với nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$.

Ta có $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$, nên suy ra $G \in SP$ và $\frac{{SG}}{{SP}} = \frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có $K \in SQ$ và $\frac{{SK}}{{SQ}} = \frac{2}{3}$.

Tam giác $SPQ$ có $\frac{{SG}}{{SP}} = \frac{{SK}}{{SQ}}$ nên theo định lý Thales ta có $GK\parallel PQ$.

Xét tam giác $ABD$, ta có $P$ là trung điểm của $AB$, $Q$ là trung điểm của $AD$, nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. Suy ra $PQ\parallel BD$.

Chứng minh tương tự ta cũng có $MN\parallel BD$.

Từ đó suy ra $GK\parallel MN$. Bài toán được chứng minh.