Bài 23 trang 104 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tứ diện$ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$, $BC$, $CD$...

Cho tứ diện$ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$, $BC$, $CD$. Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {APQ} \right)$ và $\left( {CMN} \right)$ song song với đường thẳng $BD$.

Sử dụng kết quả sau: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Gọi $\left\{ I \right\} = MC \cap AP$, $\left\{ J \right\} = NC \cap AQ$.

Do $MC \subset \left( {CMN} \right)$, $AP \subset \left( {APQ} \right)$ nên suy ra $I \in \left( {APQ} \right) \cap \left( {CMN} \right)$.

Tương tự ta cũng có $J \in \left( {APQ} \right) \cap \left( {CMN} \right)$. Như vậy $IJ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {APQ} \right)$ và $\left( {CMN} \right)$.

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AD$, suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. Từ đó ta có $MN\parallel BD$.

Do $MN \subset \left( {CMN} \right)$, ta suy ra $BD\parallel \left( {CMN} \right)$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có $BD\parallel \left( {APQ} \right)$.

Ta có $BD\parallel \left( {CMN} \right)$, $BD\parallel \left( {APQ} \right)$, $IJ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {APQ} \right)$ và $\left( {CMN} \right)$. Vậy $BD\parallel IJ$.

Bài toán được chứng minh.