Cho tứ diện\(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\), \(BC\), \(CD\). Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {APQ} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\) song song với đường thẳng \(BD\).
Sử dụng kết quả sau: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Gọi \(\left\{ I \right\} = MC \cap AP\), \(\left\{ J \right\} = NC \cap AQ\).
Advertisements (Quảng cáo)
Do \(MC \subset \left( {CMN} \right)\), \(AP \subset \left( {APQ} \right)\) nên suy ra \(I \in \left( {APQ} \right) \cap \left( {CMN} \right)\).
Tương tự ta cũng có \(J \in \left( {APQ} \right) \cap \left( {CMN} \right)\). Như vậy \(IJ\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {APQ} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\).
Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AD\), suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Từ đó ta có \(MN\parallel BD\).
Do \(MN \subset \left( {CMN} \right)\), ta suy ra \(BD\parallel \left( {CMN} \right)\).
Chứng minh tương tự, ta cũng có \(BD\parallel \left( {APQ} \right)\).
Ta có \(BD\parallel \left( {CMN} \right)\), \(BD\parallel \left( {APQ} \right)\), \(IJ\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {APQ} \right)\) và \(\left( {CMN} \right)\). Vậy \(BD\parallel IJ\).
Bài toán được chứng minh.