Bài 35 trang 109 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo $AC$...

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo $AC$, $BF$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}$. Qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD$ tại $M’$, qua $N$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AF$ tại $N’$.

a) Chứng minh rằng $\left( {MNN’} \right)\parallel \left( {CDE} \right)$.

b) Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( {AFD} \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt đường thẳng $EF$ tại $I$. Tính $\frac{{FI}}{{FE}}$, biết $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}$.

a) Chỉ ra rằng $MM’\parallel NN’$, từ đó suy ra 4 điểm $M$, $M’$, $N$, $N’$ đồng phẳng. Tương tự 4 điểm $C$, $D$, $E$, $F$ cũng đồng phẳng.

Chứng minh rằng $NN’\parallel CD$ (do cùng song song với $AB$) để suy ra $NN’\parallel \left( {CDE} \right)$. Tiếp theo, chỉ ra rằng $M’N’\parallel FD$ để suy ra $M’N’\parallel \left( {CDE} \right)$, rồi suy ra điều phải chứng minh.

b) Sử dụng định lý Thales: Đường thẳng $AC$ cắt ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$, $\left( P \right)$, $\left( {BCE} \right)$ lần lượt tại $A$, $M$, $C$. Đường thẳng $FE$ cắt ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$, $\left( P \right)$, $\left( {BCE} \right)$ lần lượt tại $F$, $I$, $E$. Suy ra $\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}}$, từ đó tính được tỉ số $\frac{{FI}}{{FE}}$.

a) Ta có $MM’\parallel AB$, $NN’\parallel AB \Rightarrow MM’\parallel NN’$. Suy ra 4 điểm $M$, $M’$, $N$, $N’$ đồng phẳng. Chứng minh tương tự ta cũng có 4 điểm $C$, $D$, $E$, $F$ đồng phẳng.

Mặt khác, ta có $MM’\parallel AB$, $AB\parallel CD$ nên $MM’\parallel CD$.

Do $CD \subset \left( {CDFE} \right)$ nên ta kết luận rằng $MM’\parallel \left( {CDFE} \right)$.

Hơn nữa, do $MM’\parallel AB$, nên theo định lý Thales ta có $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM’}}{{AD}}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN’}}{{AF}}$.

Theo đề bài, vì $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}$, ta suy ra $\frac{{AM’}}{{AD}} = \frac{{AN’}}{{AF}}$, tức là $M’N’\parallel FD$.

Do $FD \subset \left( {CDFE} \right)$ nên ta kết luận rằng $M’N’\parallel \left( {CDFE} \right)$.

Vì $MM’\parallel \left( {CDFE} \right)$, $M’N’\parallel \left( {CDFE} \right)$, $MM’ \cap M’N’ = \left\{ {M’} \right\}$, nên ta có $\left( {MNN’M’} \right)\parallel \left( {CDFE} \right)$, tức là $\left( {MNN’} \right)\parallel \left( {CDE} \right)$. Bài toán được chứng minh.

b) Ta có $AD\parallel BE$, $BC \subset \left( {BCE} \right)$ nên $AD\parallel \left( {BCE} \right)$. Tương tự ta cũng có $DF\parallel \left( {BCE} \right)$. Vậy $\left( {ADF} \right)\parallel \left( {BCE} \right)$

Theo đề bài, vì $\left( P \right)\parallel \left( {AFD} \right)$ và $M \in \left( P \right)$, nên ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$, $\left( P \right)$ và $\left( {BCE} \right)$ đôi một phân biệt, và chúng cũng đôi một song song.

Đường thẳng $AC$ cắt ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$, $\left( P \right)$, $\left( {BCE} \right)$ lần lượt tại $A$, $M$, $C$. Đường thẳng $FE$ cắt ba mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$, $\left( P \right)$, $\left( {BCE} \right)$ lần lượt tại $F$, $I$, $E$. Áp dụng định lý Thales, ta suy ra $\frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{MC}}{{IE}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{FI}} = \frac{{CA}}{{EF}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{FI}}{{FE}}$.

Mà $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}$, ta kết luận $\frac{{FI}}{{FE}} = \frac{1}{3}$.