Bài 34 trang 109 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD$...

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD$. Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $SAD$, $N$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho $AN = \frac{1}{3}AC$, $P$ là điểm thuộc đoạn thẳng $CD$ sao cho $DP = \frac{1}{3}DC$. Chứng mình rằng $\left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$.

Sử dụng định lý Thales, do $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{DP}}{{DC}}$ nên $NP\parallel AD$, suy ra $NP\parallel BC$ và $NP\parallel \left( {SBC} \right)$. Gọi $I$ là giao điểm của $NP$ và $EC$. Áp dụng định lý Thales ta suy ra $\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{1}{3}$, từ đó chứng minh được $IM\parallel SC$ và $IM\parallel \left( {SBC} \right)$, rồi suy ra điều phải chứng minh.

Ta có $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{DP}}{{DC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)$ nên theo định lý Thales, ta có $NP\parallel AD$.

Do $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD$, ta có $AD\parallel BC$. Như vậy $NP\parallel BC$.

Mà $BC \subset \left( {SBC} \right)$, ta kết luận rằng $NP\parallel \left( {SBC} \right)$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$.

Do $M$ là trọng tâm của tam giác $SAD$ nên $M \in SE$ và $\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{2}{3}$. Từ đó$\frac{{EM}}{{ES}} = \frac{1}{3}$.

Gọi $I$ là giao điểm của $NP$ và $EC$.

Xét tam giác $CDE$, ta có $IP\parallel DE \Rightarrow \frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}$.

Vậy $\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{EM}}{{ES}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)$, từ đó ta có $MI\parallel SC$. Do $SC \subset \left( {SBC} \right)$ nên $MI\parallel \left( {SBC} \right)$.

Như vậy ta có $NP\parallel \left( {SBC} \right)$, $MI\parallel \left( {SBC} \right)$. Mà $NP \cap MI = \left\{ I \right\}$, nên ta suy ra $\left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$.

Bài toán được chứng minh.