Bài 4 trang 94 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, {\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của $AB, {\rm{ }}CD$...

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm của $AB,{\rm{ }}CD$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Giả sử 4 điểm $M$, $N$, $C$, $D$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

Từ đó chứng minh rằng $M \in \left( {BCD} \right)$, suy ra $A \in \left( {BCD} \right)$ và suy ra điều vô lí.

Do $N$ là trung điểm của $BC$, nên 4 điểm $B$, $N$, $C$, $D$ cùng nằm trong mặt phẳng.

Giả sử 4 điểm $M$, $N$, $C$, $D$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

Điều này có nghĩa là $M \in \left( {NCD} \right)$.

Do bốn điểm $B$, $N$, $C$, $D$ cùng nằm trong mặt phẳng, ta suy ra $M \in \left( {BCD} \right)$.

Điểm $M$ và điểm $B$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, nên $BM \subset \left( {BCD} \right)$.

Mặt khác, do $M$ là trung điểm của $AB$, nên $A \in BM$.

Suy ra $A \in \left( {BCD} \right)$. Điều này là vô lý do $ABCD$ là tứ diện nên bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.