Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Trước hết, cần chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Áp dụng kết quả này vào hình hộp.
Trước hết, ta sẽ chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Xét hình bình hành MNPQ như hình dưới đây. Ta cần chứng minh rằng MP2+NQ2=MN2+NP2+PQ2+QM2
Áp dụng định lý cosin trong tam giác MPQ và NPQ, ta có:
MP2=QM2+QP2−2QM.QP.cosMQP
QN2=PQ2+PN2−2PN.PQ.cosQPN.
Do QM=PN và cosMQP=−cosQPN (do ^MQP và ^QPN bù nhau), nên ta có
MP2+NQ2=MQ2+2PQ2+PN2−2QM.QPcosMQP+2QM.QPcosMQP
Advertisements (Quảng cáo)
⇒MP2+NQ2=2(MN2+NP2).
Ta có điều phải chứng minh.
Quay trở lại bài toán, ta xét hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
Áp dụng kết quả vừa chứng minh được ở trên với hai hình bình hành ACC′A′, DBB′D′ và A′B′C′D′ ta có:
AC‘2+A′C2=2(AA‘2+A′C‘2) ; B′D2+BD‘2=2(BB‘2+B′D‘2);
A′C‘2+B′D‘2=2(A′B‘2+A′D‘2).
Như vậy
AC‘2+A′C2+BD‘2+B′D2=2(AA‘2+A′C‘2+BB‘2+B′D‘2)
=4AA‘2+2(A′C‘2+B′D‘2)=4AA‘2+4A′B‘2+4A′D‘2.
Do 4AA‘2=AA‘2+BB‘2+CC‘2+DD‘2, 4A′B‘2=A′B‘2+AB2+C′D‘2+CD2, 4A′D‘2=A′D‘2+AD2+B′C‘2+BC2, ta kết luận rằng trong một hình hộp, tổng bình phương tất cả các đường chéo bằng tổng tất cả các cạnh của hình hộp đó.
Bài toán được chứng minh.