Bài 43 trang 113 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC. A’B’C’$. Gọi $G$, $I$...

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $G$, $I$, $K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$, $A’B’C’$, $A’B’B$.

a) Chứng minh rằng $IK\parallel \left( {BCC’B’} \right)$.

b) Chứng minh rằng $\left( {AGK} \right)\parallel \left( {A’IC} \right)$.

c) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $K$ và song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt $A’C$ tại điểm $L$. Tính $\frac{{LA’}}{{LC}}$.

a) Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B’C’$, $BB’$. Sử dụng định lý Thales, chứng minh rằng $IK\parallel MN$, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) Chỉ ra rằng mặt phẳng $\left( {AGK} \right)$ cũng là mặt phẳng $\left( {AB’P} \right)$, mặt phẳng $\left( {A’IC} \right)$ cũng là mặt phẳng $\left( {A’MC} \right)$. Để chứng minh $\left( {AB’P} \right)$ song song với $\left( {A’MC} \right)$, cần chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau, nằm trong $\left( {AB’P} \right)$ và song song với $\left( {A’MC} \right)$.

c) Sử dụng định lý Thales trong không gian với trường hợp hai đường thẳng $B’A$ và $A’C$ cắt ba mặt phẳng song song $\left( {ABC} \right)$, $\left( \alpha \right)$, $\left( {A’B’C’} \right)$ để tính tỉ số $\frac{{LA’}}{{LC}}$.

a) Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B’C’$, $BB’$.

Do $I$ là trọng tâm tam giác $A’B’C’$ nên $I \in A’M$ và $\frac{{A’I}}{{A’M}} = \frac{2}{3}$.

Tương tự, ta cũng có $K \in A’N$ và $\frac{{A’K}}{{A’N}} = \frac{2}{3}$.

Do $\frac{{A’I}}{{A’M}} = \frac{{A’K}}{{A’N}}$ nên $IK\parallel MN$. Vì $MN \in \left( {BCC’B’} \right)$ nên $IK\parallel \left( {BCC’B’} \right)$.

b) Gọi $P$ là trung điểm cạnh $BC$.

Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G \in AP$.

Mặt khác, do $K$ là trọng tâm tam giác $\left( {A’B’B} \right)$ nên $B’K$ đi qua trung điểm của $A’B$. Vì $ABB’A’$ là hình bình hành, nên ta suy ra $AB’$ cũng đi qua trung điểm của $A’B$. Do vậy, ba điểm $A$, $K$, $B’$ thẳng hàng. Từ đó, mặt phẳng $\left( {AGK} \right)$ chính là mặt phẳng $\left( {AB’P} \right)$.

Do $I \in A’M$, nên mặt phẳng $\left( {A’IC} \right)$ cũng là mặt phẳng $\left( {A’MC} \right)$. Như vậy, để chứng minh $\left( {AGK} \right)$ song song với $\left( {A’IC} \right)$, ta cần chứng minh $\left( {AB’P} \right)$ song song với $\left( {A’MC} \right)$.

Tứ giác $MB’PC$ có $MB’ = PC\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)$ và $MB’\parallel PC$ nên nó là hình bình hành.

Suy ra $B’P\parallel MC$. Do $MC \subset \left( {A’MC} \right)$ nên $B’P\parallel \left( {A’MC} \right)$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có $AP\parallel \left( {A’MC} \right)$.

Như vậy $\left( {AB’P} \right)\parallel \left( {A’MC} \right)$, và bài toán được chứng minh.

c) Xét ba mặt phẳng song song $\left( {A’B’C’} \right)$, $\left( \alpha \right)$, $\left( {ABC} \right)$, ta có đường thẳng $B’A$ cắt ba mặt phẳng lần lượt tại $B’$, $K$, $A$. Hơn nữa, đường thẳng $A’C$ cũng cắt ba mặt phẳng trên lần lượt tại $A’$, $L$, $C$. Do đó, theo định lý Thales trong không gian, ta có: $\frac{{B’K}}{{A’L}} = \frac{{KA}}{{LC}} = \frac{{AB’}}{{CA’}} \Rightarrow \frac{{LA’}}{{LC}} = \frac{{B’K}}{{KA}}$.

Gọi $O$ là trung điểm của $A’B$. Vì $K$ là trọng tâm tam giác $\left( {A’B’B} \right)$ nên ta có $\frac{{B’K}}{{B’O}} = \frac{2}{3}$. Mà $\frac{{B’O}}{{AB’}} = \frac{1}{2}$ nên $\frac{{B’K}}{{AB’}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{B’K}}{{KA}} = \frac{1}{2}$. Từ đó $\frac{{LA’}}{{LC}} = \frac{1}{2}$.