Bài 55 trang 118 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $CD$ lấy hai điểm $M$ và $N$ khác nhau...

Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $CD$ lấy hai điểm $M$ và $N$ khác nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng $AM$ và $BN$ không cắt nhau.

Chứng minh bằng phương pháp “phản chứng”: Giả sử $AM$ cắt $BN$, ta sẽ chứng minh được $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng, và đây là điều vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giả sử $AM$ cắt $BN$. Như vậy tồn tại mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng $AM$ và $BN$.

Do $M$ và $N$ cùng nằm trên $\left( P \right)$, ta suy ra đường thẳng $MN$ cũng nằm trên $\left( P \right)$. Từ đó $C$ và $D$ cũng thuộc $\left( P \right)$.

Như vậy $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$. Điều này là vô lí, do với mọi tứ diện $ABCD$ thì 4 điểm $A$, $B$, $C$, $D$ luôn không đồng phẳng.

Do đó điều giả sử là sai.

Vậy hai đường thẳng $AM$ và $BN$ không cắt nhau.