Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu làSn=n(−1−5n)2 với n∈N∗.
a) Tính u1, u2 và u3.
b) Tìm công thức của số hạng tổng quát un.
c) Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng.
a) Ta có Sn là tổng n số hạng đầu tiên của dãy.
Với n=1 ta có S1=u1
Với n=2 ta có S2=u1+u2
Với n=3 ta có S3=u1+u2+u3
Giải hệ phương trình, ta tính được u1, u2 và u3.
b) Sử dụng công thức un=Sn−Sn−1
c) Để chứng minh (un) là cấp số cộng, từ kết quả câu b, ta cần chứng minh un−un−1 là hằng số.
Advertisements (Quảng cáo)
a, Ta có
S1=u1⇒u1=1(−1−5.1)2=−3
S2=u1+u2=S1+u2⇒u2=S2−S1=2(−1−5.2)2−1(−1−5.1)2=−8
S3=u1+u2+u3=S2+u3⇒u3=S3−S2=3(−1−5.3)3−2(−1−5.2)2=−13
Vậy ba số hạng đầu của dãy số là −3, −8, −13.
b) Ta có
Sn=u1+u2+...+un−1+un, Sn−1=u1+u2+...+un−1
⇒un=Sn−Sn−1=n(−1−5n)2−(n−1)[−1−5(n−1)]2=n−5n22−(n−1)(4−5n)2
=n−5n2−(−4+5n2+9n)2=4−10n2=2−5n
c) Xét un−un−1=(2−5n)−[2−5(n−1)]=(2−5n)−(2−5n+5)=5.
Do un−un−1=5 là hằng số, dãy số (un) là cấp số cộng.