Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} = - 2$...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} = - 2$, ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Đặt ${v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$

a) Chứng minh rằng dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của ${u_n}$ tính theo $n$.

a) Do ${v_n} = \frac{{{u_n}}}{n} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{2n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}$. Suy ra $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = - 2$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.

b) Do $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân nên ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}}$, từ đó viết được công thức của ${v_n},{u_n}$ theo $n$.

a) Do ${v_n} = \frac{{{u_n}}}{n} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{2n}}.\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}$.

Suy ra $\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{2}$.

Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ có $\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{2}$ là hằng số, nên $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu ${v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = - 2$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.

b) Do $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân nên ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - 2} \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{2^{n - 2}}}}$

Suy ra ${u_n} = n.{v_n} = \frac{{ - n}}{{{2^{n - 2}}}}$