Bài 53 trang 57 SBT Toán 11 - Cánh diều: Tổng $1 + 11 + 101 + 1001 + . . + 100. 01$ (12 số hạng) bằng: A. $\frac{{{{10}^{11}} + 107}}{9}$...

Tổng $1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01$ (12 số hạng) bằng:

A. $\frac{{{{10}^{11}} + 107}}{9}$

B. $\frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}$

C. $\frac{{{{10}^{12}} + 107}}{9}$

D. $\frac{{{{10}^{11}} + 98}}{9}$

Ta có

$\begin{array}{l}1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01\\ = 1 + \left( {10 + 1} \right) + \left( {100 + 1} \right) + ... + \left( {100...0 + 1} \right)\\ = 1.12 + \left( {10 + 100 + 1000 + ... + 100...0} \right)\end{array}$

Xét cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 10$ và công bội $q = 10$. Ta thấy tổng cần tính sẽ bằng $12 + \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{11}}} \right)$. Sử dụng công thức ${S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$ để tính tổng của các số hạng trong cấp số nhân đó.

Ta có

$\begin{array}{l}1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01\\ = 1 + \left( {10 + 1} \right) + \left( {100 + 1} \right) + ... + \left( {100...0 + 1} \right)\\ = 1.12 + \left( {10 + 100 + 1000 + ... + 100...0} \right)\end{array}$

Xét tổng $10 + 100 + 1000 + ... + 100...0$. Ta thấy tổng này gồm 11 số hạng.

Xét cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 10$ và công bội $q = 10$. Ta nhận thấy:

$10 + 100 + 1000 + ... + 100...0 = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{11}}$.

Vậy tổng trên có giá trị là ${S_{11}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{11}}}}{{1 - q}} = 10\frac{{1 - {{10}^{11}}}}{{1 - 10}} = \frac{{10\left( {{{10}^{11}} - 1} \right)}}{9} = \frac{{{{10}^{12}} - 10}}{9}$

Suy ra tổng cần tính bằng $12 + \frac{{{{10}^{12}} - 10}}{9} = \frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}$

Đáp án đúng là B.