Cho dãy số (un) biết u1=1, u2=2, un+1=2un−un−1+2 với n≥2.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Đặt vn=un+1−un với n∈N∗. Chứng minh rằng dãy số (vn) là cấp số cộng.
c) Tìm công thức của vn, un tính theo n.
a) Thay n=2, n=3, n=4 vào biểu thức un+1=2un−un−1+2để tính u3,u4,u5.
b) Do un+1=2un−un−1+2⇒un+1−un=un−un−1+2⇒vn=vn−1+2. Suy ra (vn) là cấp số cộng.
c) Do (vn) là cấp số cộng nên vn=v1+(n−1)d.
Ta có v1=u2−u1, v2=u3−u2, v3=u4−u3,…, vn−1=un−un−1
Do đó v1+v2+v3+....+vn−1=−u1+un
Từ đó ta tính được công thức số hạng tổng quát của (un)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có
u3=2u2−u1+2=2.2−1+2=5
u4=2u3−u2+2=2.5−2+2=10
u5=2u4−u3+2=2.10−5+2=17
Vậy năm số hạng đầu của dãy số là 1, 2, 5, 10, 17.
b) Do un+1=2un−un−1+2⇒un+1−un=un−un−1+2
Mà vn=un−un−1, ta suy ra vn=vn−1+2⇒vn−vn−1=2
Dãy số (vn) có vn−vn−1=2 là một hằng số, nên (vn) là cấp số cộng có số hạng đầu v1=u2−u1=2−1=1, công sai d=2.
c) Do (vn) là cấp số cộng, nên vn=v1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1
Ta có v1=u2−u1, v2=u3−u2, v3=u4−u3,…, vn−1=un−un−1
Do đó v1+v2+v3+....+vn−1=−u1+un
Suy ra un=(2v_1+(n−2)d)(n−1)2+1=(n−1)2+1.