Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, $\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}$...

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, $\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}$, ${v_n} = 8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}$. Tính:

a) $\lim {u_n}$, $\lim {v_n}$

b) $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)$, $\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right)$, $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)$, $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$

Sử dụng tính chất về dãy số có giới hạn vô cực.

Sử dụng định lý về giới hạn hữu hạn: Nếu $\lim {u_n} = a$, $\lim {v_n} = b$ thì:

$\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b$, $\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b$, $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = ab$

Trường hợp ${v_n} \ne 0$ và $b \ne 0$, ta có $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}$

a)

Ta có $\lim 4 = 4$ và $\lim \left( {n + 1} \right) = + \infty$, nên $\lim \frac{4}{{n + 1}} = 0$.

Sử dụng định lý về giới hạn hữu hạn, ta có:

$\lim {u_n} = \lim \left( {3 - \frac{4}{{n + 1}}} \right) = \lim 3 - \lim \frac{4}{{n + 1}} = 3 - 0 = 3$

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

$\lim {v_n} = \lim \left( {8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}} \right) = \lim 8 - \lim \frac{5}{{3{n^2} + 2}} = 8 - 0 = 8$

b) Theo kết quả câu a, ta có $\lim {u_n} = 3$, $\lim {v_n} = 8 \ne 0$.

Sử dụng định lý về giới hạn hữu hạn, ta có:

$\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 3 + 8 = 11$

$\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 3 - 8 = - 5$

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 3.8 = 24$

$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{8}$ (do ${v_n} \ne 0$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$)