Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}\), \({v_n} = 8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}\). Tính:
a) \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\)
b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\), \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right)\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)
Sử dụng tính chất về dãy số có giới hạn vô cực.
Sử dụng định lý về giới hạn hữu hạn: Nếu \(\lim {u_n} = a\), \(\lim {v_n} = b\) thì:
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\), \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = ab\)
Trường hợp \({v_n} \ne 0\) và \(b \ne 0\), ta có \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\)
a)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(\lim 4 = 4\) và \(\lim \left( {n + 1} \right) = + \infty \), nên \(\lim \frac{4}{{n + 1}} = 0\).
Sử dụng định lý về giới hạn hữu hạn, ta có:
\(\lim {u_n} = \lim \left( {3 - \frac{4}{{n + 1}}} \right) = \lim 3 - \lim \frac{4}{{n + 1}} = 3 - 0 = 3\)
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
\(\lim {v_n} = \lim \left( {8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}} \right) = \lim 8 - \lim \frac{5}{{3{n^2} + 2}} = 8 - 0 = 8\)
b) Theo kết quả câu a, ta có \(\lim {u_n} = 3\), \(\lim {v_n} = 8 \ne 0\).
Sử dụng định lý về giới hạn hữu hạn, ta có:
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 3 + 8 = 11\)
\(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 3 - 8 = - 5\)
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 3.8 = 24\)
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{8}\) (do \({v_n} \ne 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\))