Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) BC⊥(OAH).
b) H là trực tâm của ΔABC.
c) 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
Sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α) thì d⊥(α).
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α).
a) Vì H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) nên OH⊥(ABC)⇒OH⊥BC
Vì OA⊥OB,OA⊥OC⇒OA⊥(BOC)⇒OA⊥BC
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: OA⊥BC,OH⊥BC⇒BC⊥(OAH)
b) Vì BC⊥(OAH) nên BC⊥AH (1)
Vì OH⊥(ABC)⇒OH⊥AC
Vì OA⊥OB,OB⊥OC⇒OB⊥(AOC)⇒OB⊥AC
Ta có: OB⊥AC,OH⊥AC⇒AC⊥(OBH)⇒AC⊥BH (2)
Mà H là giao điểm của BH và CH (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: H là trực tâm của ΔABC.
c) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Khi đó, OD⊥BC
Vì OA⊥(BOC)⇒OA⊥OD
Do đó, tam giác AOD vuông tại O. Mà OH là đường cao nên 1OH2=1OD2+1OA2
Tam giác BOC vuông tại O, đường cao OD có: 1OD2=1OB2+1OC2
Vậy 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2