Câu 1
Trong không gian, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Sử dụng kiến thức về tính chất hai đường thẳng vuông góc: Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Khẳng định đúng: Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Chọn A
Câu 2
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d⊥(α)d⊥(α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α).
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng trong (α) thì d⊥(α).
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α).
D. Nếu d⊥(α) và đường thẳng a//(α) thì d⊥a.
Sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α) thì d⊥(α).
Khẳng định sai: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng trong (α) thì d⊥(α).
Chọn B.
Câu 3
Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH⊥(BCD). Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB=CD
B. AC=BD
C. AB⊥CD
D. CD⊥BD
Sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α).
Vì AH⊥(BCD)⇒AH⊥CD
Vì H là trực tâm tam giác BCD nên BH⊥CD
Ta có: AH⊥CD, BH⊥CD, BH và AH cắt nhau tại H và nằm trong mặt phẳng (BAH).
Do đó, CD⊥(ABH)⇒CD⊥AB
Chọn C
Câu 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SC⊥EF
B. SC⊥AE
C. SC⊥AF
D. SC⊥BC
+ Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Vì ABCD là hình vuông nên AB⊥BC.
Mà SA⊥(ABCD),BC⊂(ABCD)⇒SA⊥BC
Do đó, BC⊥(SAB). Lại có: BC⊂(SBC)⇒(SBC)⊥(SAB)
Mà SB là giao tuyến của (SBC) và (SAB), AE⊥SB nên EA⊥(SBC)⇒AE⊥SC
Đáp án B đúng
+ Vì ABCD là hình vuông nên AD⊥DC.
Mà SA⊥(ABCD),DC⊂(ABCD)⇒SA⊥DC
Do đó, DC⊥(SAD). Lại có: DC⊂(SDC)⇒(SCD)⊥(SAD)
Mà SD là giao tuyến của (SDC) và (SAD), AF⊥SD nên FA⊥(SDC)⇒AF⊥SC
Đáp án C đúng
+ Vì AE⊥SC,AF⊥SC nên SC⊥(AEF). Do đó, SC⊥EF
Đáp án A đúng
Vì BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB. Do đó, tam giác SBC vuông tại B. Do đó, SC không thể vuông góc với BC.
Đáp án D sai.
Chọn D
Câu 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. α=600
B. α=750
C. tanα=1
D. tanα=√2
Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 900.
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
Vì SA⊥(ABCD) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Do đó, (SC,(ABCD))=(SC,AC)=^SCA
Vì ABCD là hình vuông nên ^ABC=900
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có: AC=√AB2+BC2=a√2
Vì SA⊥(ABCD)⇒SA⊥AC nên tam giác SAC vuông tại A.
Suy ra: tanα=SAAC=2aa√2=√2
Chọn D
Câu 6
Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB.
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.
Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 900.
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
Vì AB⊥BC,AB⊥BD⇒AB⊥(BCD)
Do đó, B là hình chiếu của A trên mặt phẳng BCD.
Suy ra, (AC,(BCD))=(AC,BC)=^ACB
Chọn A.
Câu 7
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB=a√2. Biết SA⊥(ABC) và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Trong mặt phẳng ABC, kẻ AD⊥BC(D∈BC)
Mà SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC, mà AD⊥BC, do đó, BC⊥(SAD)⇒BC⊥SD
Vì BC⊥SD,AD⊥BC,AD⊂(ABC),SD⊂(SBC) và BC là giao tuyến của (SBC) và (ABC). Do đó, ((SBC),(ABC))=(SD,AD)=^SDA
Tam giác ABC vuông cân tại A nên ^ABC=450
Tam giác ADB vuông tại D nên AD=AB.sin^ABC=a√2.sin45o=a
Vì SA⊥(ABC)⇒SA⊥AD. Do đó, tam giác SAD vuông tại A.
Mà SA=AD(=a) nên tam giác SAD vuông cân tại A. Do đó, ^SDA=450
Chọn B
Câu 8
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
A. Song song với nhau.
Advertisements (Quảng cáo)
B. Trùng nhau.
C. Không song song với nhau.
D. Hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Sử dụng kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Chọn D
Câu 9
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng
A. a√2
B. a√64
C. a√3√7
D. a√34
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)).
Gọi E là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, AE⊥BC
Mà A′A⊥(ABC)⇒A′A⊥BC. Do đó, BC⊥(A′AE).
Trong mặt phẳng (A’AE), kẻ AH⊥A′E(H∈A′E)⇒AH⊥BC
Vì AH⊥BC,AH⊥A′E⇒AH⊥(A′BC). Do đó, H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A’BC) hay AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC)
Vì tam giác ABC đều nên AE=AB√32=a√32
Vì A′A⊥(ABC)⇒A′A⊥EA. Do đó, tam giác A’EA vuông tại A.
Suy ra: 1AH2=1AE2+1A′A2=43a2+1a2=73a2⇒AH=a√3√7
Chọn C
Câu 10
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a,BC=a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC.
A. a√3010
B. a√32
C. a√155
D. a
Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác ABS đều nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.
Vì (SAB)⊥(ABCD),SH⊥AB,SH⊂(SAB) và AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) nên SH⊥(ABCD)
Gọi F đối xứng với H qua B nên B là trung điểm của FH hay HB =BF
Chứng minh được tứ giác BECF là hình bình hành. Do đó, BE//CF
Do đó, d(BE,CS) =d(BE,(SCF)) =d(B,(SCF)) =12d(H,(SCF))
Chứng minh được tứ giác HBCE là hình vuông cạnh a nên CH =BE =CF =a√2
Mà CH2+CF2 =HF2(\)\(=4a2) nên tam giác HCF vuông cân tại C.
Vì CF⊥HC,CF⊥SH⇒CF⊥(SHC)⇒(SCF)⊥(SHC)
Trong (SHC), kẻ HK⊥SC⇒HK⊥(SCF).
Suy ra d(H,(SCF)) =HK⇒d(BE,SC) =12HK
Vì SH là đường cao trong tam giác đều SAB nên SH =BA√32 =2a√32 =a√3
Tam giác SHC vuông tại H, đường cao HK có: 1HK2 =1CH2+1SH2 =12a2+13a2 =56a2⇒HK =a√305⇒d(BE,SC) =12HK =a√3010
Chọn A
Câu 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=2a,AD=a. Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 450. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là
A. √33a3
B. 13a3
C. 2a3
D. 23a3
+ Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
+ Sử dụng kiến thức về thể tích hình chóp: Thể tích hình chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: V=13S.h
Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB cân tại S nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, SH⊥AB
Vì (SAB)⊥(ABCD),SH⊥AB,SH⊂(SAB), AB là giao tuyến của (SAB) và (ABCD). Do đó, SH⊥(ABCD)⇒SH⊥BC
Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC⊥AB
Mà SH⊥BC, SH và AB cắt nhau tại H và nằm trong mặt phẳng SAB nên BC⊥(SAB)
Lại có: SB⊂(SAB)⇒BC⊥SB
Ta có: BC⊥SB,AB⊥BC,SB⊂(SBC),AB⊂(ABCD), BC là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Do đó, ((SBC),(ABCD))=(AB,SB)=^SBA=450
Vì SH⊥AB⇒^SHB=900. Mà ^SBA=450 nên tam giác SHB vuông cân tại H.
Do đó, SH=HB=12AB=a
Thể tích khối chóp S. ABCD là: V=13SH.SABCD=13SH.AB.AD=13.a.a.2a=2a33
Chọn D
Câu 12
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB=a,AD=a√3, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V=2a3√63
B. V=a3√63
C. V=2√6a3
D. V=4a33
- Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 900.
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
- Sử dụng kiến thức về thể tích hình chóp: Thể tích hình chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: V=13S.h
Vì SA⊥(ABCD),BC,AB⊂(ABCD)⇒SA⊥BC,SA⊥AB .
Ta có: SA⊥BC,AB⊥BC (do ABCD là hình chữ nhật), SA và AB cắt nhau tại A trong mặt phẳng (SAB) nên BC⊥(SAB)⇒ B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB).
Do đó, (SC,(SAB))=(SC,SB)=^CSB=300
Vì BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB. Do đó, tam giác SBC vuông tại B.
Suy ra: SB=BCtan^BSC=a√3√33=3a
Tam giác SAB vuông tại A nên ta có: SA=√SB2−AB2=√(3a)2−a2=2a√2 (Định lý Pythagore)
Thể tích khối chóp S. ABCD là: VS.ABCD=13.SA.SABCD=13.2a√2.a.a√3=2a3√63
Chọn A
Câu 13
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại B, AB=2a,BC=a,AA′=2a√3. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là
A. 4a3√3
B. 2a3√3
C. 2a3√33
D. 4a3√33
Sử dụng kiến thức về thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: V=S.h
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V=AA′.SABC=12AA′.AB.BC=122a√3.a.2a=2a3√3
Chọn B
Câu 14
Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. V1 là thể tích của tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. V=6V1
B. V=4V1
C. V=3V1
D. V=2V1
+ Sử dụng kiến thức về thể tích hình lập phương: Thể tích hình lập phương bằng độ dài cạnh bên nhân với diện tích đáy.
+ Sử dụng kiến thức về thể tích hình chóp: Thể tích hình chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: V=13S.h
Thể tích của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là: V=SABCD.AA′
Thể tích của tứ diện A’ABD là: V=13SABD.AA′=13.12SABCD.AA′
Do đó, V=6V1
Chọn A