Bài 10 trang 9 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Biết rằng ${5^{2x}} = 3$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{{{5^{3x}} + {5^{ - 3x}}}}{{{5^x} + {5^{ - x}}}}$...

Biết rằng ${5^{2x}} = 3$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{{{5^{3x}} + {5^{ - 3x}}}}{{{5^x} + {5^{ - x}}}}$.

Sử dụng kiến thức về phép tính lũy thừa: ${\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}$, ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$ với $a \ne 0$

Vì ${5^{2x}} = 3$ nên ${5^{ - 2x}} = \frac{1}{3}$

$\frac{{{5^{3x}} + {5^{ - 3x}}}}{{{5^x} + {5^{ - x}}}} = \frac{{{{\left( {{5^x}} \right)}^3} + {{\left( {{5^{ - x}}} \right)}^3}}}{{{5^x} + {5^{ - x}}}} = \frac{{\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)\left( {{5^{2x}} - {5^x}{{.5}^{ - x}} + {5^{ - 2x}}} \right)}}{{{5^x} + {5^{ - x}}}} = {5^{2x}} - 1 + {5^{ - 2x}} = 3 - 1 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$