Bài 11 trang 9 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Biết ${3^\alpha } + {3^{ - \alpha }} = 3$. Tính giá trị của các biểu thức sau...

Biết ${3^\alpha } + {3^{ - \alpha }} = 3$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${3^{\frac{\alpha }{2}}} + {3^{\frac{{ - \alpha }}{2}}}$;

b) ${3^{2\alpha }} + {3^{ - 2\alpha }}$.

Sử dụng kiến thức về phép tính lũy thừa để tính: ${\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}$, ${a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}$

a) Ta có: ${\left( {{3^{\frac{\alpha }{2}}} + {3^{\frac{{ - \alpha }}{2}}}} \right)^2} = {3^\alpha } + {3^{ - \alpha }} + {2.3^{\frac{\alpha }{2}}}{.3^{\frac{{ - \alpha }}{2}}} = 3 + 2.1 = 5$

Do đó, ${3^{\frac{\alpha }{2}}} + {3^{\frac{{ - \alpha }}{2}}} = \sqrt 5$ (vì ${3^{\frac{\alpha }{2}}} + {3^{\frac{{ - \alpha }}{2}}} > 0$)

b) Ta có: ${3^{2\alpha }} + {3^{ - 2\alpha }} = {\left( {{3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}} \right)^2} - {2.3^\alpha }{.3^{ - \alpha }} = {3^2} - 2.1 = 7$.