Cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P)
a) Tại điểm \(\left( { - 1;1} \right)\);
b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = - 3x + 2\).
Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
Với \({x_0}\) bất kì ta có:
\(y’\left( {{x_0}} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{y\left( x \right) - y\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + {x_0}} \right) = 2{x_0}\)
Do đó, \(y’ = 2x\)
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) là: \(y’\left( { - 1} \right) = 2.\left( { - 1} \right) = - 2\)
b) Hoành độ giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = - 3x + 2\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} = - 3x + 2 \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)
Do đó, \(k = y’\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}} \right) = - 3 + \sqrt {17}\), \(k = y’\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}} \right) = - 3 - \sqrt {17} \)
Vậy hệ số góc tại giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = - 3x + 2\) là: \(k = - 3 + \sqrt {17} ;k = - 3 - \sqrt {17} \)