Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên \(\mathbb{R}\).
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 2\;khi\;x \le 2\\\frac{1}{{x + 1}}\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x > 2\end{array} \right.\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x\;khi\;x \le 1\\\frac{2}{x} + 1\;\;\;\;\;khi\;x > 1\end{array} \right.\).
Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để xét tính liên tục và tính đạo hàm: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_0}\), kí hiệu là \(f’\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y’\left( {{x_0}} \right)\). Vậy \(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{3} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = 4\) nên f(x) gián đoạn tại \(x = 2\). Do đó, f(x) không có giới hạn tại 2, không có đạo hàm tại 2.
b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{2}{x} + 1} \right) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 2x} \right) = 3;f\left( 1 \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Do đó, hàm số f(x) liên tục tại \(x = 1\).
Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{2}{x} + 1 - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = - 2;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 1}} = 4\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
Do đó, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
Vậy không tồn tại đạo hàm tại \(x = 1\)