Bài 3 trang 13 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau...

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30$;

b) ${\log _5}75 - {\log _5}3$;

c) ${\log _3}\frac{5}{9} - 2{\log _3}\sqrt 5$;

d) $4{\log _{12}}2 + 2{\log _{12}}3$;

e) $2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2$;

g) ${\log _3}\sqrt 3 - {\log _3}\sqrt[3]{9} + 2{\log _3}\sqrt[4]{{27}}$.

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit để tính: Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$ ta có:

a) ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$, ${\log _a}{a^b} = b$

b) ${\log _a}{a^b} = b$, ${\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M - {\log _a}N$

c) ${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)$, ${\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M - {\log _a}N$, ${\log _a}{a^b} = b$

d) ${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)$, ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$, ${\log _a}{a^b} = b$

e, g) ${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)$, ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$, ${a^{{{\log }_a}b}} = b$, ${\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M - {\log _a}N$, ${\log _a}{a^b} = b$

a) ${\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30 = {\log _3}\left( {\frac{9}{{10}}.30} \right) = {\log _3}27 = {\log _3}{3^3} = 3$;

b) ${\log _5}75 - {\log _5}3 = {\log _5}\frac{{75}}{3} = {\log _5}25 = {\log _5}{5^2} = 2$;

c) ${\log _3}\frac{5}{9} - 2{\log _3}\sqrt 5 = {\log _3}\frac{5}{9} - {\log _3}{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {\log _3}\left( {\frac{5}{9}:5} \right) = {\log _3}\frac{1}{9} = {\log _3}{3^{ - 2}} = - 2$;

d) $4{\log _{12}}2 + 2{\log _{12}}3 = {\log _{12}}{2^4} + {\log _{12}}{3^2} = {\log _{12}}\left( {16.9} \right) = {\log _{12}}144 = {\log _{12}}{12^2} = 2$;

e) $2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2 = {\log _5}{2^2} - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2 = {\log _5}\frac{{4\sqrt 2 }}{{4\sqrt {10} }} = {\log _5}\frac{1}{{\sqrt 5 }}$

$= {\log _5}{5^{ - \frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2}$;

g) ${\log _3}\sqrt 3 - {\log _3}\sqrt[3]{9} + 2{\log _3}\sqrt[4]{{27}} = {\log _3}{3^{\frac{1}{2}}} - {\log _3}{3^{\frac{2}{3}}} + {\log _3}{3^{\frac{3}{4}.2}} = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{3}$.