Bài 4 trang 22 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Giải các bất phương trình sau: ${\log _3}\left( {x + 4} \right) \({\log _{\frac{1}{2}}}x \ge 4$; c) \({\log _{0...

Giải các bất phương trình sau:

a) \({\log _3}\left( {x + 4} \right)

b) ${\log _{\frac{1}{2}}}x \ge 4$;

c) ${\log _{0,25}}\left( {x - 1} \right) \le - 1$;

d) ${\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2$;

e) $2{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right)$;

g) $2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)$.

Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình lôgarit để giải bất phương trình:

Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:

Chú ý:

+ Nếu $a > 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) > v\left( x \right)\end{array} \right.$

+ Nếu \(0 {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right)

a) Điều kiện: $x + 4 > 0$ $\Leftrightarrow x > - 4$

\({\log _3}\left( {x + 4} \right)

Kết hợp với ĐK ta có: \( - 4

b) Điều kiện: $x > 0$

${\log _{\frac{1}{2}}}x \ge 4$ $\Leftrightarrow x \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$ $\Leftrightarrow x \le \frac{1}{{16}}$

Kết hợp với điều kiện ta có: \(0

c) Điều kiện: $x - 1 > 0$ $\Leftrightarrow x > 1$

${\log _{0,25}}\left( {x - 1} \right) \le - 1$ $\Leftrightarrow x - 1 \ge 0,{25^{ - 1}}$ $\Leftrightarrow x - 1 \ge 4$ $\Leftrightarrow x \ge 5$

Kết hợp với điều kiện ta có: $x \ge 5$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x \ge 5$

d) Điều kiện: ${x^2} - 24x > 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x 24\end{array} \right.$

${\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2$ $\Leftrightarrow {x^2} - 24x \ge {5^2}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 24x - 25 \ge 0$ $\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 25} \right) \ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 25\\x \le - 1\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện ta có: $\left[ \begin{array}{l}x \ge 25\\x \le - 1\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x \ge 25;x \le - 1$

e) $2{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\left( {**} \right)\\{\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right)\left( * \right)\end{array} \right.$

(*) $\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \le 3x + 7$ $\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 3x - 7 \le 0$ $\Leftrightarrow {x^2} - x - 6 \le 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0$ $\Leftrightarrow - 2 \le x \le 3$

Kết hợp với (**) ta có: \( - 1

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \( - 1

g) Điều kiện: $x > - 1$

$2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)$ $\Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}3 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)$

$\Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}3\left( {x + 7} \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \le 3x + 21$

$\Leftrightarrow {x^2} - x - 20 \le 0$ $\Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right) \le 0$ $\Leftrightarrow - 4 \le x \le 5$

Kết hợp với điều kiện ta có: \( - 1

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \( - 1