Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, SA=SC,SB=SD.
a) Chứng minh rằng SO⊥(ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng minh rằng IJ⊥(SBD).
c) Chứng minh rằng BD⊥(SAC).
a, c) Sử dụng kiến thức về định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (α) thì d⊥(α).
b) Sử dụng kiến thức về liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng: Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Vì ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.
Vì SA=SC nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAC. Do đó, SO⊥AC
Vì SB=SD nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBD. Do đó, SO⊥BD
Vì SO⊥AC, SO⊥BD, AC và BD cắt nhau và nằm trong (ABCD).
Do đó, SO⊥(ABCD)
b) Vì SO⊥AC,BD⊥AC (do ABCD là hình thoi tâm), SO và BD cắt nhau tại O và nằm trong (SBD) nên AC⊥(SBD) (1)
Vì I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC nên IJ là đường trung bình của tam giác BAC. Do đó, IJ//AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IJ⊥(SBD).
c) Vì SO⊥BD,BD⊥AC, SO và AC cắt nhau tại O và nằm trong (SAC) nên BD⊥(SAC).