Cho tứ diện ABCD có DA⊥(ABC), ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH⊥MD tại H.
a) Chứng minh rằng AH⊥(BCD).
b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng GK⊥(ABC).
a) Sử dụng kiến thức về định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (α) thì d⊥(α).
b) Sử dụng kiến thức về liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng: Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Vì DA⊥(ABC),BC⊂(ABC)⇒DA⊥BC
Tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra: BC⊥AM
Vì DA⊥BC, BC⊥AM, DA và AM cắt nhau tại A và nằm trong (DAM) nên BC⊥(DAM). Lại có, AH⊂(DAM)⇒AH⊥BC
Ta có: AH⊥MD, AH⊥BC, MD và BC cắt nhau tại M và nằm trong (BCD) nên AH⊥(BCD)
b) Tam giác DBC có K là trọng tâm và DM là đường trung tuyến nên DKDM=23
Tam giác ABC có G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến nên AGAM=23
Tam giác ADM có: DKDM=AGAM(=23) nên KG//AD (định lý Thalès đảo)
Mà DA⊥(ABC) nên GK⊥(ABC).