Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình chóp tam giác S. ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, $AC = a\sqrt 2$...

Cho hình chóp tam giác S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, $AC = a\sqrt 2$, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SBC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng ${60^0}$. Tính theo a thể tích V của khối chóp S. ABC

Sử dụng kiến thức về thể tích hình chóp: Thể tích hình chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: $V = \frac{1}{3}S.h$

Trong mặt phẳng (SAC), vẽ $SH \bot AC\left( {H \in AC} \right)$. Vì $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ và AC là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và BC.

Khi đó, $\left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SIH} = {60^0}$, $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SKH} = {60^0}$

Chứng minh được $\Delta SHI = \Delta SHK\left( {cgv - gn} \right)$ $\Rightarrow HI = HK$

Tứ giác BIHK có: $\widehat {IBK} = \widehat {BKH} = \widehat {BIH} = {90^0}$ và $HI = HK$ nên tứ giác BIHK là hình vuông. Suy ra, H là trung điểm của AC. Khi đó, tứ giác BIHK là hình vuông cạnh $\frac{a}{2}$.

Tam giác SHI vuông tại H nên $SH = HI.\tan \widehat {SIH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Do đó, thể tích V của khối chóp S.ABC là: $V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$