Bài 5 trang 8 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau...

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${8^{ - \frac{2}{3}}}$;

b) ${32^{ - \frac{2}{5}}}$;

c) ${81^{1,25}}$;

d) $1\;{000^{ - \frac{5}{3}}}$;

e) ${\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}}$;

g) ${\left( {\frac{8}{{27}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}}$.

Sử dụng kiến thức về phép tính với lũy thừa:

+ Với $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$ thì: ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

+ Với $n \in \mathbb{N}*,a \in \mathbb{R},a \ne 0$ thì: ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$

a) ${8^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{{8^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{2^3}} \right)}^2}}}}} = \frac{1}{4}$;

b) ${32^{ - \frac{2}{5}}} = \frac{1}{{{{32}^{\frac{2}{5}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[5]{{{{\left( {{2^5}} \right)}^2}}}}} = \frac{1}{4}$;

c) ${81^{1,25}} = {81^{\frac{5}{4}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {{3^4}} \right)}^5}}} = {3^5} = 243$;

d) $1\;{000^{ - \frac{5}{3}}} = \frac{1}{{1\;{{000}^{\frac{5}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^3}} \right)}^5}}}}} = \frac{1}{{{{10}^5}}}$;

e) ${\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{{{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4}} \right]}^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{1}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}$;

g) ${\left( {\frac{8}{{27}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3}} \right]}^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}} = \frac{9}{4}$.