Bài 9 trang 15 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\). Tính giá của trị biểu thức \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \)...

a) Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\). Tính giá của trị biểu thức \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \).

b) Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{4}\). Tính giá của trị biểu thức \(\sin \alpha .\cos \alpha \).

c) Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}\). Tính giá của trị biểu thức \({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \).

Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc:

a) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)

b, c) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)

a) \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \) \( = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^3} - 3\tan \alpha \cot \alpha \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\)

\( \) \( = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^3} - 3\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right) \) \( = {2^3} - 3.2 \) \( = 2\)

b) \(\sin \alpha + \cos \alpha \) \( = \frac{1}{4} \) \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \) \( = \frac{1}{{16}} \) \( \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \) \( = \frac{1}{{16}}\)

\( \) \( \Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha \) \( = \frac{{ - 15}}{{32}}\)

c) \(\sin \alpha + \cos \alpha \) \( = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \) \( = \frac{1}{4} \) \( \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \) \( = \frac{1}{4}\)

\( \) \( \Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha \) \( = \frac{{ - 3}}{8}\)

\({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \) \( = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)

\( \) \( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 3}}{8}.\frac{1}{2} \) \( = \frac{1}{8} + \frac{9}{{16}} \) \( = \frac{{11}}{{16}}\)