Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có đường cao \(HH’ = 2a\). Cho biết \(AB = 2a,A’B’ = a\). Gọi \({B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:
a) Khối chóp cụt đều ABC.A’B’C’;
b) Khối lăng trụ \(A{B_1}{C_1}.A’B’C’\).
Sử dụng kiến thức về thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao h và diện tích hai đáy S, S’ là: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS’} + S’} \right)\)
a) Vì tam giác ABC, A’B’C’ đều nên \({S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 ,{S_{A’B’C’}} = \frac{{A’B{‘^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Do đó thể tích khối chóp cụt đều ABC.A’B’C’ là:
${{V}_{ABC.ABC}}$$ =\frac{1}{3}.HH’\left( {{S}_{ABC}}+\sqrt{{{S}_{ABC}}.{{S}_{A’B’C’}}}+{{S}_{A’B’C’}} \right)$$ =\frac{1}{3}.2a\left( {{a}^{2}}\sqrt{3}+\sqrt{{{a}^{2}}\sqrt{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}+\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)$
\( = \frac{2}{3}a\left( {\frac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{7{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
b) Thể tích khối lăng trụ \(A{B_1}{C_1}.A’B’C’\) là: \({V_{A{B_1}{C_1}.A’B’C’}} = HH’.{S_{A’B’C}} = 2a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)