Câu 1
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\). Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(M\left( { - 1; - 6} \right)\) có hệ số góc bằng:
A. 18
B. \( - 3\)
C. 7
D. 9
Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 6x\)
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \(M\left( { - 1; - 6} \right)\) là: \(y’\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 6.\left( { - 1} \right) = 3 - 6 = - 3\)
Chọn B
Câu 2
Hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có đạo hàm tại \(x = - 1\) bằng
A. 0
B. 6
C. \( - 6\)
D. \( - 1\)
Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: \(\left( {u \pm v} \right)’ = u’ \pm v’,\left( {{x^\alpha }} \right)’ = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c’ = 0\) với c là hằng số.
\(y’ = \left( {{x^3} - 3x + 1} \right)’ = 3{x^2} - 3\) nên \(y’\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 3 = 0\)
Chọn A.
Câu 3
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^3} - 3{x^2} + 6x - 1\) và \(g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 2\). Bất phương trình \(f”\left( x \right) - f’\left( x \right) + g’\left( x \right) - 8 \ge 0\) có tập nghiệm là
A. \(\left( {1;\frac{{10}}{3}} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {\frac{{10}}{3}; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ {1;\frac{{10}}{3}} \right]\)
D. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{{10}}{3}; + \infty } \right)\)
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta có hàm số \(y’ = f’\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số \(y’ = f’\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y’\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x và kí hiệu là \(y”\) hoặc \(f”\left( x \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: \(\left( {u \pm v} \right)’ = u’ \pm v’,\left( {{x^\alpha }} \right)’ = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c’ = 0\) với c là hằng số.
\(f’\left( x \right) = 9{x^2} - 6x + 6,f”\left( x \right) = 18x - 6,g’\left( x \right) = 3{x^2} + 2x\)
Do đó, \(f”\left( x \right) - f’\left( x \right) + g’\left( x \right) - 8 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 18x - 6 - 9{x^2} + 6x - 6 + 3{x^2} + 2x - 8 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow - 6{x^2} + 26x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 13x + 10 \le 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {3x - 10} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le \frac{{10}}{3}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {1;\frac{{10}}{3}} \right]\)
Chọn C
Câu 4
Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 2}}\) có đạo hàm là
A. \(y’ = - \frac{1}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
B. \(y’ = - \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
C. \(y’ = \frac{1}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
D. \(y’ = \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính: \({\left( {\frac{u}{v}} \right)’} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\)
\(y’ = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{3x + 2}}} \right)’} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)’\left( {3x + 2} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)’}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {3x + 2} \right) - 3\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{6x + 4 - 6x + 3}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Chọn D
Câu 5
Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp hai tại \(x = 1\) là
A. \(y”\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\)
B. \(y”\left( 1 \right) = - \frac{1}{4}\)
C. \(y”\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\)
D. \(y”\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\)
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta có hàm số \(y’ = f’\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số \(y’ = f’\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y’\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x và kí hiệu là \(y”\) hoặc \(f”\left( x \right)\).
+ Sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm: \({\left( {\frac{u}{v}} \right)’} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\)
\(y’ = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)’} = \frac{{\left( {x - 1} \right)’\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)’}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(y” = {\left[ {\frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]’} = \left[ {2{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right]’ = - 4{\left( {x + 1} \right)^{ - 3}}\left( {x + 1} \right)’ = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\)
Do đó, \(y”\left( 1 \right) = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^3}}} = - \frac{1}{2}\)
Chọn D
Câu 6
Hàm số \(y = {3^{{x^2} + 1}}\) có đạo hàm là
A. \(\left( {{x^2} + 1} \right){3^{{x^2}}}\)
B. \(\left( {{x^2} + 1} \right){3^{{x^2} + 1}}\ln 3\)
C. \(2x{3^{{x^2} + 1}}\ln 3\)
D. \({3^{{x^2} + 1}}\)
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại x là \(u_x’\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại u là \(y_u’\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại x là \(y_x’ = y_u’.u_x’\).
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính: \({\left\{ {{{\left[ {u\left( x \right)} \right]}^\alpha }} \right\}’} = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]’\), \(\left( {{a^{u\left( x \right)}}} \right)’ = \left( {u\left( x \right)} \right)'{a^{u\left( x \right)}}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
\(y’ = {\left( {{3^{{x^2} + 1}}} \right)’} = \left( {{x^2} + 1} \right)'{3^{{x^2} + 1}}\ln 3 = 2x{.3^{{x^2} + 1}}\ln 3\)
Chọn C
Câu 7
Hàm số \(y = \ln \left( {\cos x} \right)\) có đạo hàm là
A. \(\frac{1}{{\cos x}}\)
B. \( - \tan x\)
C. \(\tan x\)
D. \(\cot x\)
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại x là \(u_x’\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại u là \(y_u’\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại x là \(y_x’ = y_u’.u_x’\).
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính: \(\left( {\ln u\left( x \right)} \right)’ = \frac{{u’\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}}\left( {u\left( x \right) > 0} \right)\)
\(y’ = {\left[ {\ln \left( {\cos x} \right)} \right]’} = \frac{{\left( {\cos x} \right)’}}{{\cos x}} = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = - \tan x\)
Chọn B
Câu 8
Hàm số \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}\) có đạo hàm tại \(x = 1\) bằng
A. \(f’\left( 1 \right) = {e^{\sqrt 5 }}\)
B. \(f’\left( 1 \right) = 2{e^{\sqrt 5 }}\)
C. \(f’\left( 1 \right) = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt 5 }}\)
D. \(f’\left( 1 \right) = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{2\sqrt 5 }}\)
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại x là \(u_x’\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại u là \(y_u’\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại x là \(y_x’ = y_u’.u_x’\).
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính: \(\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)’ = \left( {u\left( x \right)} \right)'{e^{u\left( x \right)}}\)
\(f’\left( x \right) = {\left( {{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}} \right)’} = \left( {\sqrt {{x^2} + 4} } \right)’.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}’}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }}.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{2x.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{x.{e^{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\)
Do đó, \(f’\left( 1 \right) = \frac{{1.{e^{\sqrt {{1^2} + 4} }}}}{{\sqrt {{1^2} + 4} }} = \frac{{{e^{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt 5 }}\)
Chọn C