Bài 1.28 trang 24 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau...

Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:

a) $y = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$ và $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$

b) $y = \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)$ và $y = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$

a) Sử dụng cách giải phương trình $\sin x = m$ (1)

+ Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì tồn tại duy nhất số $\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thỏa mãn $\sin \alpha = m$.

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\sin x = \sin {\alpha ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^0} + k{360^0}\\x = {180^0} - \alpha + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\x = \pi - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) Sử dụng cách giải phương tình $\cos \,x = m$ (2)

+ Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì tồn tại duy nhất số $\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thỏa mãn $\cos \,\alpha = m$.

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\cos x = \cos {\alpha ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos = {\alpha ^0} + k{360^0}\\\cos = - \alpha + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\cos u = \cos v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\x = - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

a) Giá trị tương ứng của hai hàm số $y = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$ và $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$ bằng nhau khi

$\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) Giá trị tương ứng của hai hàm số $y = \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)$ và $y = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$ bằng nhau khi

$\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( {x - \frac{\pi }{6} + } \right)k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + k\pi \\x = \frac{{17\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$