Bài 2.23 trang 39 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho một cấp số nhân với tất cả các số hạng đều dương...

Cho một cấp số nhân với tất cả các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là $\frac{{125}}{6}$. Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu là ${u_1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định bởi công thức ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ với $n \ge 2$

Giả sử rằng các số hạng của cấp số nhân đều là số dương.

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 125\\{u_{10}} = \frac{{125}}{{64}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} = 125\\{u_1}.{q^9} = \frac{{125}}{{64}}\end{array} \right.$

Chia vế theo vế của hai phương trình ta có: ${q^6} = \frac{1}{{64}} \Leftrightarrow q = \pm \frac{1}{2}$

Với $q = \frac{1}{2}$ ta có ${u_1} = 1000 \Rightarrow {u_{14}} = {u_1}.{q^{13}} = \frac{{125}}{{1\;024}}$

Với $q = - \frac{1}{2}$ ta có ${u_1} = - 1000$ (loại)

Vậy ${u_{14}} = \frac{{125}}{{1\;024}}$