Bài 2.30 trang 40 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy \({m^2} = p. q...

Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy ${m^2} = p.q.$ Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số q và q, nếu ta tìm được k số khác ${m_1},{m_2},...,{m_k}$ sao cho $p,{m_1},{m_2},...,{m_k},q$ lập thành một cấp số nhân, thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy:

a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24;

b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576.

Cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu là ${u_1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định bởi công thức ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ với $n \ge 2$

a) Theo định nghĩa, chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân có ${u_1} = 3$ và ${u_{2 + 2}} = {u_4} = 24$

Theo tính chất của cấp số nhân ta có: ${u_4} = {u_1}.{q^3} \Rightarrow q = 2$

Vậy chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân là 3; 6; 12; 24.

b) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân có ${u_1} = 2,25$ và ${u_{2 + 3}} = {u_5} = 576$

Theo tính chất của cấp số nhân ta có: ${u_5} = {u_1}.{q^4} \Rightarrow q = \pm 4$

Với $q = 4$, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân là 2,25; 9; 36; 144, 476.

Với $q = - 4$, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân là 2,25; -9; 36; -144, 476.