Bài 2.5 trang 34 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi hệ thức truy hồi: \({u_1} = 1...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi hệ thức truy hồi: ${u_1} = 1,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right)$

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng $1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là: ${u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}$.

c) Chứng minh rằng ${u_{n + 1}} + {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2}$, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Ta kí hiệu $u = u\left( n \right)$ bởi $\left( {{u_n}} \right)$, do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được viết dưới dạng khai triển ${u_1},{u_2},...,{u_n},...$ Số ${u_1}$ gọi là số hạng đầu, số ${u_n}$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số

a) Bảy số tam giác đầu là:

${u_1} = 1,\;{u_2} = 1 + \left( {1 + 1} \right) = 3,\;{u_3} = 3 + \left( {2 + 1} \right) = 6,\;{u_4} = 6 + \left( {3 + 1} \right) = 10,\;{u_5} = 10 + \left( {4 + 1} \right) = 15,$

${u_6} = 15 + \left( {5 + 1} \right) = 21,{u_7} = 21 + \left( {1 + 6} \right) = 28$

b) Ta nhận thấy: ${u_2} = 1 + 2,{u_3} = 1 + 2 + 3,{u_4} = 1 + 2 + 3 + 4,..$

Do đó, ta dự đoán: ${u_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + \left( {n + 1} \right) = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}$

c) Theo công thức phần b ta có:

${u_{n + 1}} + {u_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2 + n} \right)}}{2} = {\left( {n + 1} \right)^2}$

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.