Bài 23 trang 69 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB = AD = a, AA’ = a\sqrt 2$...

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB = AD = a,AA’ = a\sqrt 2$. Thể tích khối tứ diện $ACB’D’$ bằng

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.

B. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$.

C. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$.

D. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$.

Phân chia khối hộp chữ nhật thành 5 khối ta có

${V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }} = {V_{ACB\prime D\prime }} + {V_{B\prime .ABC}} + {V_{D\prime .ACD}} + {V_{A.A\prime B\prime D\prime }} + {V_{C.B\prime C\prime D\prime }}$

Chứng minh $V_{B\prime .ABC}^{} = \frac{1}{6}{V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }}$

Chứng minh tương tự ta có: ${V_{D\prime .ACD}} = {V_{A.A\prime B\prime D\prime }} = {V_{C.B\prime C\prime D\prime }} = \frac{1}{6}{V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }}$

Suy ra : ${V_{ACB\prime D\prime }} = \frac{1}{3}{V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }}$

Tính ${V_{ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime }}$

Suy ra ${V_{ACB\prime D\prime }} = \frac{1}{3}{V_{ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime }} = \frac{1}{3}{a^3}\sqrt 2$

Ta có: ${V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }} = {V_{ACB\prime D\prime }} + {V_{B\prime .ABC}} + {V_{D\prime .ACD}} + {V_{A.A\prime B\prime D\prime }} + {V_{C.B\prime C\prime D\prime }}$

Ta có: $V_{B\prime .ABC}^{} = \frac{1}{3}d(B\prime ;(ABC)).{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}d(B\prime ;(ABCD)).\frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}{V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }}$

Chứng minh tương tự ta có: ${V_{D\prime .ACD}} = {V_{A.A\prime B\prime D\prime }} = {V_{C.B\prime C\prime D\prime }} = \frac{1}{6}{V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }}$

Khi đó ta có:

$= {V_{ACB\prime D\prime }} + 4.\frac{1}{6}{V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }} \Leftrightarrow {V_{ACB\prime D\prime }} = \frac{1}{3}{V_{ABCD.A\prime BC\prime D\prime }}$

${V_{ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime }} = AB.AD.AA’ = a.a.a\sqrt 2 = {a^3}\sqrt 2$

Vậy ${V_{ACB\prime D\prime }} = \frac{1}{3}{V_{ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime }} = \frac{1}{3}{a^3}\sqrt 2$

Chọn A