Bài 29 trang 70 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Giả sử ${u_n}$ là số hạng thứ $n$ của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và \({u_n} = \frac{{{{\left( {1...

Giả sử ${u_n}$ là số hạng thứ $n$ của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và ${u_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}$.

a) Chứng tỏ rằng ${u_1} = 1,{u_2} = 1$ và ${u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

Từ đó suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ đầu tiên.

Tinh $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$

a) Ta có ${u_1} = 1,{u_2} = 1$ và ${u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

Áp dụng hằng đẳng thức ${a^{n + 2}} - {b^{n + 2}} = \left( {{a^{n + 1}} - {b^{n + 1}}} \right)\left( {a + b} \right) - ab\left( {{a^n} - {b^n}} \right)$

Ta có ${u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$= \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$= \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$= \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số Fibonacci.

b) Lập bảng

Thay

Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$

. a) Ta có ${u_1} = 1,{u_2} = 1$ và ${u_{n + 2}} = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 2}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$= \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$= \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}$

$= \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số Fibonacci.

b)

Ta có:

(do \(\left| {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}} \right|