Bài 31 trang 71 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tìm $m$ để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$...

Tìm $m$ để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x + 5} - 2}}{{x + 1}}}&{{\rm{\;khi\;}}x > - 1}\\{m \cdot {4^{ - x}} + 1}&{{\rm{\;khi\;}}x \le - 1}\end{array}} \right.$

Xét tính liên tục của hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\,khi\,x \ge {x_0}\\{f_2}(x)\,khi\,x

Cách giải :

*Xét tính liên tục của hàm số tại $x = {x_0}$

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0}$

*Xét tính liên tục của hàm số với mọi $x > {x_0}$

*Xét tính liên tục của hàm số với mọi \(x

Dễ thấy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x = - 1$.

Ta xét tính liên tục của hàm số tại $x = - 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {m{{.4}^{ - x}} + 1} \right) = 4m + 1$ và $f\left( { - 1} \right) = 4m + 1$

Suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\frac{1}{4} = 4m + 1 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{{16}}$.