Bài 8.13 trang 51 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Hỏi $A, B$ có độc lập không?...

3 hộp I, II, III. Mỗi hộp chứa ba tấm thẻ đánh số 1, 2, 3. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét các biến cố sau:

$A$: "Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ là 6”; $B$: "Ba tấm thẻ có ghi số bằng nhau”.

a) Tính $P\left( A \right),P\left( B \right)$.

b) Hỏi $A,B$ có độc lập không?

Tính $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$,$P\left( B \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}},P\left( {AB} \right) = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}.$

$P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$ suy ra hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau

$P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)$ suy ra hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập với nhau

a) Ta có ${\rm{\Omega }} = \left\{ {\left( {a,b,c} \right):1 \le a,b,c \le 3} \right\},n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 27$.

Tính $P\left( A \right):A = \left\{ {\left( {1,2,3} \right);\left( {2,1,3} \right);\left( {3,1,2} \right);\left( {1,3,2} \right);\left( {3,2,1} \right);\left( {2,3,1} \right);\left( {2,2,2} \right)} \right\},n\left( A \right) = 7$.

Suy ra $P\left( A \right) = \frac{7}{{27}}$.

Tính $P\left( B \right):B = \left\{ {\left( {1,1,1} \right);\left( {2,2,2} \right);\left( {3,3,3} \right)} \right\},n\left( B \right) = 3$. Suy ra $P\left( B \right) = \frac{3}{{27}}$.

b) Tính $P\left( {AB} \right)$ : Ta có $A \cap B = \left\{ {\left( {2,2,2} \right)} \right\}$. Vậy $P\left( {AB} \right) = \frac{1}{{27}}$.

Vì $P\left( {AB} \right) = \frac{1}{{27}} = \frac{{27}}{{{{27}^2}}} \ne \frac{{21}}{{{{27}^2}}} = \frac{7}{{27}} \cdot \frac{3}{{27}} = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$ nên $A$ và $B$ không độc lập.