Bài 8.27 trang 53 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho $A, B$ là hai biến cố độc lập và xung khắc với \(P\left( A \right) = 0...

Cho $A,B$ là hai biến cố độc lập và xung khắc với $P\left( A \right) = 0,35;P\left( {A \cup B} \right) = 0,8$. Tính xác suất để:

a) Xảy ra $B$.

b) Xảy ra cả $A$ và $B$.

c) Xảy ra đúng một trong hai biến cố $A$ hoặc $B$.

Áp dụng quy tắc cộng, nhân xác suất

a) Do $A,B$ xung khắc nên $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$, suy ra $P\left( B \right) = P\left( {A \cup B} \right) - P\left( A \right)$.

b) Do $A,B$ độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$.

c) Do $\left( {A,\overline B } \right)$ độc lập và $\left( {\overline A ,B} \right)$ độc lập nên

$\begin{array}{*{20}{r}}{P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right)}&{}\\{P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right)}&{}\end{array}$

Xác suất xảy ra đúng một trong hai biến cố $A$ hoặc $B$ là

$P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)$

a) Do $A,B$ xung khắc nên $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$, suy ra $P\left( B \right) = P\left( {A \cup B} \right) - P\left( A \right) = 0,8 - 0,35 = 0,45$.

b) Do $A,B$ độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,35 \cdot 0,45 = 0,1575$.

c) Do $\left( {A,\overline B } \right)$ độc lập và $\left( {\overline A ,B} \right)$ độc lập nên$\begin{array}{*{20}{r}}{P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,35 \cdot 0,55 = 0,1925.}&{}\\{P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right) = 0,65 \cdot 0,45 = 0,2925.}&{}\end{array}$

Xác suất xảy ra đúng một trong hai biến cố $A$ hoặc $B$ là

$P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) = 0,1925 + 0,2925 = 0,485.$