Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\;{\rm{khi }}\,x \le 0\\ - {x^3} + mx\;{\rm{khi }}\,x > 0\end{array} \right.\), với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Áp dụng định nghĩa đạo hàm
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(f’\left( x \right) = 2x - 1\) với \(x \in \left( { - \infty \, & ,\,0} \right)\) và \(f’\left( x \right) = - 3{x^2} + m\) với \(x \in \left( {0\, & ,\, + \infty } \right)\). Do đó, hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi tồn tại \(f’\left( 0 \right)\).
Ta tính đạo hàm bên phải và bên trái điểm \(x = 0\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2} + m} \right) = m\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) = - 1\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m = - 1\).