Bài 9.44 trang 66 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\;{\rm{khi }}\, x \le 0\\ - {x^3} + mx\;{\rm{khi }}\...

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\;{\rm{khi }}\,x \le 0\\ - {x^3} + mx\;{\rm{khi }}\,x > 0\end{array} \right.$, với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hàm số có đạo hàm tại mọi $x \in \mathbb{R}$.

Áp dụng định nghĩa đạo hàm

Ta có $f’\left( x \right) = 2x - 1$ với $x \in \left( { - \infty \, & ,\,0} \right)$ và $f’\left( x \right) = - 3{x^2} + m$ với $x \in \left( {0\, & ,\, + \infty } \right)$. Do đó, hàm số có đạo hàm tại mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi tồn tại $f’\left( 0 \right)$.

Ta tính đạo hàm bên phải và bên trái điểm $x = 0$:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2} + m} \right) = m$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) = - 1$.

Vậy hàm số có đạo hàm tại mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m = - 1$.