Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 15 trang 223 Sách BT hình 11 nâng cao: Hai đường...

Câu 15 trang 223 Sách BT hình 11 nâng cao: Hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau khi và chỉ khi...

Chia sẻ
Câu 15 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = {90^0}\) , \(AB = 2{\rm{a}},C{\rm{D}} = a,A{\rm{D}} = 3{\rm{a}}\) M là điểm bất kì. ÔN TẬP CUỐI NĂM – HÌNH HỌC

Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = {90^0}\) , \(AB = 2{\rm{a}},C{\rm{D}} = a,A{\rm{D}} = 3{\rm{a}}\) M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng AD.

a) Xác định vị trí điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau.

b) Gọi S là điểm thuộc đường thẳng vuông góc với mp(ABC) kẻ từ điểm M sao cho SM = AM. Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với SA. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện thu được theo a và x, ở đây \(x = AM\left( {0 < x \le 3{\rm{a}}} \right)\).

 

a) Đặt \(AM = x\) thì \(DM=3a-x\).

Dễ thấy \(BC = a\sqrt {10} \)

\(\eqalign{  & M{B^2} = 4{{\rm{a}}^2} + {x^2}  \cr  & M{C^2} = {a^2} + {\left( {3{\rm{a}} – x} \right)^2} \cr} \)

Hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & B{C^2} = M{B^2} + M{C^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 10{a^2} = 2{{\rm{x}}^2} + 14{a^2} – 6ax  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} – 3ax + 2{a^2} = 0  \cr  &  \Rightarrow x = a,x = 2a \cr} \)

Quảng cáo

Vậy có hai vị trí của M để MB và MC vuông góc với nhau.

b) Vì \(SM \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right),AB \bot MA\) nên \(AB \bot SA\) (định lí ba đường vuông góc). Mặt khác \(\left( P \right) \bot SA\) nên (P) // AB.

Do MA = MS, (P) đi qua M và \(\left( P \right) \bot SA\) nên (P) cắt SA tại trung điểm A1 của SA. Từ đó (P) cắt (SAB) theo giao tuyến A1B1 với A1B1 // AB; (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN song song với AB. Như vậy, thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P) là hình thang vuông M A1B1N (tứ giác M A1B1N là hình thang vuông MN // A1B1, ngoài ta \(AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\) nên \({A_1}{B_1} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\), tức là \({A_1}{B_1} \bot M{A_1}\))

\(\eqalign{  & {S_{M{A_1}{B_1}N}} = {1 \over 2}\left( {{A_1}{B_1} + MN} \right).{A_1}M  \cr  & {A_1}{B_1} = {1 \over 2}AB = a,{A_1}M = {1 \over 2}SA = {{x\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Gọi I là giao điểm của AD và BC thì IA = 6a. Ta có

\(\eqalign{  & {{MN} \over {AB}} = {{IM} \over {IA}} \Leftrightarrow {{MN} \over {2{\rm{a}}}} = {{6{\rm{a}} – x} \over {6{\rm{a}}}}  \cr  &  \Rightarrow MN = {{6a – x} \over 3} \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{  & {S_{M{A_1}{B_1}N}} = {1 \over 2}\left( {a + {{6{\rm{a}} – x} \over 3}} \right).{{x\sqrt 2 } \over 2}  \cr  &  = {{\sqrt 2 \left( {9{\rm{a}} – x} \right)x} \over {12}}\,\left( {voi\,0 < x \le 3{\rm{a}}} \right) \cr} \).



Chia sẻ