Advertisements (Quảng cáo)
Cho hình bình hành ABCD. Qua đỉnh A, B, C, D dựng các đường thẳng a, b, c, d tương ứng song song với nhau và không thuộc mp(ABCD). Trên mỗi đường thẳng a, b, c, d lần lượt lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\). Chứng minh rằng:
a) Nếu các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) không đồng phẳng thì đường thẳng nối trung điểm A1C1 và trung điểm B1D1 luôn đi qua một điểm cố định.
b) Bốn điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) đồng phẳng khi và chỉ khi trung điểm của A1C1 trùng với trung điểm B1D1.
c) Nếu bốn đường thẳng \(A{C_1},B{{\rm{D}}_1},C{A_1},D{B_1}\) đôi một cắt nhau thì \(ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là một hình hộp.
a) Xét phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương chiếu l // a. Khi đó A1C1 có hình chiếu là AC nên trung điểm I của A1C1 có hình chiếu là trung điểm O của AC.
Tương tự, trung điểm J của B1D1 có hình chiếu là trung điểm O của BD.
Do đó, ba điểm I, J, O phải nằm trên một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ này đi qua điểm cố định O.
b) Nếu \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) đồng phẳng thì \({A_1}{B_1}//{C_1}{D_1}\) vì chúng là giao tuyến của \(mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) với hai mặt phẳng song song \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right),\left( {DC{C_1}{D_1}} \right)\).
Tương tự, ta có \({A_1}{D_1}//{B_1}{C_1}\). Vậy tứ giác \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là một hình bình hành. Do đó trung điểm I của A1C1 trùng với trung điểm J của B1D1.
● Ngược lại, nếu I trùng với J thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng nằm trên mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau A1C1 và B1D1.
Advertisements (Quảng cáo)
c)
Giả sử AC1 cắt BD1 tại K. Khi đó, ta có \(mp\left( {A{C_1},B{{\rm{D}}_1}} \right) \equiv mp\left( {AB{C_1}{D_1}} \right)\).
Mặt phẳng này cắt hai mặt phẳng song song \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right),\left( {DC{C_1}{D_1}} \right)\) theo hai giao tuyến song song AB và C1D1, suy ra \({C_1}{D_1}//C{\rm{D}}\). Mặt khác \(D{D_1}//C{C_1}\).
Vậy tứ giác \(CD{D_1}{C_1}\) là hình bình hành.
Do đó: \(C{\rm{D}} = {C_1}{D_1} \Rightarrow {C_1}{D_1} = BA\).
Như vậy \(AB{C_1}{D_1}\) là hình bình hành và K là trung điểm của AC1 và BD1.
Tương tự, nếu BD1 cắt CA1 tại K’ thì \(BC{{\rm{D}}_1}{A_1}\) là hình bình hành và K’ là trung điểm của BD1 và CA1 nên K’ ≡ K.
Tương tự, ta cũng suy ra K là trung điểm của B1D, các mặt \(AB{B_1}{A_1},BC{C_1}{B_1}\) đều là hình bình hành và từ đó \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cũng là hình bình hành. Vậy \(ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp.