a) Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết \(\lim {u_n} = - \infty \) và \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (vn) khi \(n \to + \infty \) ?
b) Tìm vn với \({v_n} = - n!\)
a) Vì \(\lim {u_n} = - \infty \) nên \(\lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \). Do đó, \(\left( { - {u_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, vì \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n nên \(\left( { - {v_n}} \right) \ge \left( { - {u_n}} \right)\) với mọi n. (2)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left( { - {v_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, \(\lim \left( { - {v_n}} \right) = + \infty \) hay \(\lim {v_n} = - \infty \)
b) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right) = - n\)
Ta có - n! < - n hay \({v_n} < {u_n}\) với mọi n. Mặt khác, \(\lim {u_n} = \lim \left( { - n} \right) = - \infty \)
Từ kết quả câu a) suy ra \(\lim {v_n} = \lim \left( { - n!} \right) = - \infty \)