Bài 1.4 trang 153 SBT Đại số và giải tích 11: Cho hai dãy số (un) và (vn)....

a)     Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết $\lim {u_n} =  - \infty$ và ${v_n} \le {u_n}$ với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy  (v_n) khi $n \to  + \infty$ ?

b)     Tìm v_n với ${v_n} =  - n!$

a)     Vì $\lim {u_n} =  - \infty$ nên $\lim \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty$. Do đó, $\left( { - {u_n}} \right)$ có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.    (1)

Mặt khác, vì ${v_n} \le {u_n}$ với mọi n nên $\left( { - {v_n}} \right) \ge \left( { - {u_n}} \right)$ với mọi n.    (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left( { - {v_n}} \right)$ có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, $\lim \left( { - {v_n}} \right) =  + \infty$ hay $\lim {v_n} =  - \infty$

b)     Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right) =  - n$

Ta có - n! <  - n hay ${v_n} < {u_n}$ với mọi n. Mặt khác, $\lim {u_n} = \lim \left( { - n} \right) =  - \infty$

Từ kết quả câu a) suy ra $\lim {v_n} = \lim \left( { - n!} \right) =  - \infty$